KMP&Z函数详解

KMP

一些简单的定义:

  • 真前缀:不是整个字符串的前缀
  • 真后缀:不是整个字符串的后缀

当然不可能这么简单的,来个重要的定义

  • 前缀函数:
    给定一个长度为\(n\)的字符串\(s\),其 \(前缀函数\) 为一个长度为\(n\)的数组\(\pi\),其中\(\pi_i\)表示
    1. 如果字串\(s[0...i]\)存在一对相等的真前缀和真后缀\(s[0...k]~and~s[i-(k-1)...i]\),则\(\pi_i\)为这个真前缀(真后缀)的长度\(k\)
    2. 如果有不止一对,则\(\pi_i\)为其中最长的一对
    3. 若没有最长的,则\(\pi_i=0\)

简而言之,\(\pi_i\)为字串\(s[0...i]\)最长相等的真前缀和真后缀长度

特别的,规定\(\pi_0\)=0

举个例子,对于字符串\(s=\)"\(abcabcd\)",其前缀函数\(\pi=\{0,0,0,1,2,3,0\}\)

考虑如何去求前缀函数,最暴力的做法肯定使\(O(n^3)\)的,枚举前缀位置、真前缀(真后缀)的长度和真前缀(真后缀)的每一位,代码就不放出来了(其实是没写)

优化一

我们发现当\(i+1\)时,\(\pi_i\)最多\(+1\),也就是说我们枚举\(\pi_i\)的长度时,上界为\(\pi{i-1}+1\),这样复杂度可以被优化为\(O(n^2)\)

代码如下

void Getnex(string str){
    int len=str.size();
    nex[0]=0;
    for (int i=1;i<n;i++) {
        for (int j=nex[i-1];j>=0;j--) {
            if (str.substr(0,j)==str.substr(i-j+1,j)) {
                nex[i]=j;
                break;
            }
        }
    }
}

如何证明这个复杂度呢

我们发现每次进行一次\(substr\)操作,都意味着\(\pi_i\)的值都会\(-1\)

显然有一种最坏的情况是,\(p_i\)的值先变成\(n-1\),然后再掉回\(0\)

容易看出这不会超过\(O(n)\)次,然后每次\(substr\)的复杂度为\(O(n)\)

所以总复杂度\(O(n^2)\)

优化二

我们在优化一中发现了一个性质,当\(s[i+1]==s[\pi_i]\)时,\(\pi_i=\pi_{i-1}+1\)

考虑把这个性质推下去,当\(s[i+1]!=s[\pi_i]\)

我们发现,我们要找的转移点\(j\)是要满足\(i-1\)的前缀性质的

即满足\(s[1...j]=s[i-(j-1)...i]\)

\(\pi_i\)不行时我们自然要去找下一个满足性质的转移点

很容易想到这东西不就是\(\pi_{\pi_i}吗\)

由于真前缀和真后缀相等,所以\(\pi_{\pi_i}\)必然满足既是真前缀的真前缀又是真后缀的真后缀

可能有点绕,举个例子\(s=\)"\(abaabaa\)"(下标从\(0\)开始)

当我们求\(\pi_6\)时,前面的\(\pi\)值为

\(\pi[0...5]=\{0,0,1,1,2,3\}\)

我们发现\(s[6]!=s[\pi_5=3]\)

那么我们就需要找到下一个转移点\(j\)满足\(s[0...j]=s[5-(j+1)...5]\)

因为\(\pi_5=3\)所以\(s[0...5]\)的满足前缀性质的真前缀(真后缀)为\(aba\)

所以对于字符串"\(aba\)"满足前缀性质的真前缀(真后缀)一定满足\(s[0...5]\)的前缀性质

所以转移点即为\(\pi_3=\pi_{\pi_5}\)

至此,求前缀函数便可以优化成\(O(n)\)

void Getnex(std::string S) {
    for (int i=2,j=0;i<S.size();i++) {
        while(j && S[j+1]!=S[i]) j=nex[j];
        if (S[j+1]==S[i]) j++;
        nex[i]=j;   
    }
}

前话到此完结,接下来是真正的\(KMP\)

\(KMP\)是对于前缀函数的典型运用

举个例子,给定一个文本\(t\)和字符串\(s\),我们尝试求出\(s\)\(t\)中的所有出现

我们记\(n,m\)\(s\)\(t\)的长度

我们构造一个字符串为\(s+\)'\(.\)'\(+t\),其中\(.\)为不在\(s,t\)中出现的分隔符

计算出这个字符串的前缀函数,考虑这个前缀函数除去前\(n+1\)个值意味着什么

根据定义,\(\pi_i\)为右端点为\(i\),且为一个前缀的最长真子串长度

且由于有分割符的存在,\(\pi\)不可能超过\(n\)

\(\pi_i=n\)时,则意味着\(s\)\(t\)中完整出现一次,其右端点为\(i\)

因此\(KMP\)可以在\(O(n+m)\)的复杂度内解决问题

void KMP(std::string S,std::string T) {
    for (int i=1,j=0;i<S.size();i++) {
        while(j && T[j+1]!=S[i]) j=nex[j];
        if (T[j+1]==S[i]) j++;
        if (j==m-1) {
            std::cout<<i-m+2<<std::endl;
            j=nex[j];
        }
    }
}

字符串的周期

定义:

  • 对于字符串\(s\),若存在\(p\)满足\(s[i]=s[i+p](i\in[0,|s|-p-1])\),则\(p\)\(s\)的周期

  • 对于字符串\(s\),若存在\(r\)满足\(s\)长度为\(r\)的前缀和长度为\(r\)的后缀相等,则称\(s\)长度为\(r\)的前缀是\(s\)\(border\)

由这两个定义不难看出\(|s|-r\)\(s\)的周期

根据前缀函数的定义我们可以得出\(s\)所有\(border\)长度,即\(\pi_{n-1},\pi_{\pi_{n-1}},...\)

所以我们可以在\(O(n)\)的时间复杂度内求出\(s\)的所有周期

其中最小周期为\(n-\pi_{n-1}\)

统计每个前缀的出现次数

以下默认字符串下标从\(1\)开始

主要是两种问题,一个是求\(s\)的前缀在\(s\)中的出现次数,另一个是求\(s\)的前缀在另一个字符串\(t\)中的出现次数

考虑位置\(i\)的前缀函数值\(\pi_i\),根据定义,其意味着字符串\(s\)一个长度为 的前缀在位置\(i\)出现并以\(i\)为右端点,同时不存在一个更长的前缀满足前述定义。

与此同时,更短的前缀可能以该位置为右端点。

容易看出,我们遇到了在计算前缀函数时已经回答过的问题:给定一个长度为\(j\)的前缀,同时其也是一个右端点位于\(i\)的后缀,下一个更小的前缀长度\(k<j\)是多少?该长度的前缀需同时也是一个右端点为\(i\)的后缀。

因此以位置\(i\)为右端点,有长度为\(\pi_i\)的前缀,有长度为\(\pi_{\pi_i}\)的前缀,等等,直到长度变为0。

故而我们可以通过下述方式计算答案。

void Getcnt(std::string str) {
    for (int i=1;i<str.size();i++) ans[nex[i]]++;
    for (int i=str.size()-1;i>0;i--) ans[nex[i]]+=ans[nex[i]];
    for (int i=1;i<str.size();i++) ans[i]++;
}

例题:CF432D Prefixes and Suffixes
https://codeforces.com/problemset/problem/432/D

题意:

给你一个长度为n的长字符串,“完美子串”既是它的前缀也是它的后缀,求“完美子串”的个数且统计这些子串的在长字符串中出现的次数

模板题,直接写就行

#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#define file(a) freopen(#a".in","r",stdin),freopen(#a".out","w",stdout)

const int maxn=1e5+5;
int n,nex[maxn],ans[maxn];
std::string str;

void chkmax(int &x,int y) {if (x<y) x=y;}
void chkmin(int &x,int y) {if (x>y) x=y;}
int read() {
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch<='9' && ch>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

void Getnex(std::string s) {
    for (int i=2,j=0;i<s.size();i++) {
        while(j && s[j+1]!=s[i]) j=nex[j];
        if (s[j+1]==s[i]) j++;
        nex[i]=j;
    }
}
void out(int i,int cnt) {
    if (!i) {std::cout<<cnt<<std::endl;return ;}
    out(nex[i],cnt+1);
    std::cout<<i<<' '<<ans[i]<<std::endl;
}

int main() {
    std::cin>>str;
    str=" "+str;
    Getnex(str);
    // for (int i=1;i<str.size();i++) std::cout<<nex[i]<<' ';puts("");
    for (int i=1;i<str.size();i++) ans[nex[i]]++;
    for (int i=str.size();i>=1;i--) ans[nex[i]]+=ans[i];
    for (int i=1;i<str.size();i++) ans[i]++;
    out(str.size()-1,0);
    return 0;
}

Z函数(扩展KMP)

定义:

对于一个字符串\(s\)\(z[i]\)表示\(s\)\(s[i...n-1]\)\(LCP\)(最长公共前缀)的长度,\(z\)则被称为\(s\)\(Z\)函数

我们在计算的时候,可以通过前面已知的\(z\)来计算

对于\(i\),我们称区间\([i,i+z[i]-1]\)\(i\)的匹配段

我们在算法过程中维护右端点最靠右的匹配段,记作\([l,r]\)

则有\([l,r]\)\(s\)的前缀,并且在计算\(z[i]\)时我们保证\(l\leq i\)

算法流程

最开始时,\(l=r=0\)

在计算\(z[i]\)的过程中

  • \(i\leq r\),则有\(s[i,r]=s[i-l,r-l]\),所以\(z[i]\ge min(z[i-l,r-i+1])\)

    • \(z[i-l]<r-i+1\),则\(z[i]=z[i-l]\)
    • \(z[i-l]\ge r-i+1\),我们令\(z[i]=r-i+1\),然后暴力向后枚举字符
  • \(i>r\),我们直接暴力从\(s[i]\)开始比较,求出\(z[i]\)

  • 求出\(z[i]\)后,还要更新\(l,r\)

void GetZ(std::string s) {
    int l=0,r=0;
    for (int i=1;i<s.size();i++) {
        if (i<=r && z[i-l]<r-i+1) z[i]=z[i-l];
        else {
            z[i]=std::max(0,r-i+1);
            while(i+z[i]<s.size() && s[z[i]]==s[i+z[i]]) z[i]++;
        }
        if (i+z[i]-1>r) {l=i;r=i+z[i]-1};
    }
}

复杂度分析

对于内层的\(while\),每次执行都会使\(r\)向后移动至少一位,而\(r<n-1\),所以总共最多做\(n\)

加上外层的\(for\),总复杂度\(O(n)\)

每日一句

种一棵树,最好的时间是十年前,其次,就是现在了。